# Is Attention Better Than Matrix Decomposition

### Is Attention Better Than Matrix Decomposition?

论文地址：

* <https://arxiv.org/abs/2109.04553>

参考资料：

* <https://zhuanlan.zhihu.com/p/369769485>
* <https://zhuanlan.zhihu.com/p/369855045>
* <https://zhuanlan.zhihu.com/p/370410446>

### 整体思路以及计算方式

思路是利用矩阵分解代替Attention。

假设$$\mathbf X\in \mathbb R^{d\times n}$$可以分解为如下形式：

$$
\mathbf {X}=\overline{\mathbf {X}}+\mathbf {E}=\mathbf {D}\mathbf C+\mathbf {E}
$$

这些变量满足如下条件（$$\mathbf E$$表示噪声）：

$$
\begin{aligned} \overline{\mathbf {X}}& \in \mathbb{R}^{d \times n} \ \mathbf {E}& \in \mathbb{R}^{d \times n} \ \mathbf D&\in \mathbb R^{d\times r}\ \mathbf C&\in \mathbb R^{r\times n}\ \end{aligned}
$$

使用流程为通过某种方式计算$$\mathbf D,\mathbf C$$，最后输出$$\mathbf D\mathbf C$$。

作者给出了两种方式计算$$\mathbf D,\mathbf C$$：

* Soft VQ
  * for $$k=1,\ldots, K$$:
    * $$\mathbf {C} \leftarrow \operatorname{Softmax}\left(\frac{1}{T} \operatorname{cosine}(\mathbf {D},\mathbf {X})\right)$$
    * $$\mathbf {D} \leftarrow \mathbf {X} \mathbf {C}^{\top} \operatorname{diag}\left(\mathbf {C} \mathbf{1}\_{n}\right)^{-1}$$
  * return $$\overline {\mathbf X} =\mathbf D\mathbf C$$
* NMF with MU
  * for $$k=1,\ldots, K$$:
    * $${\mathbf C}*{i j} \leftarrow {\mathbf C}*{i j} \frac{\left(\mathbf {D}^{\top}\mathbf X\right)*{i j}}{\left(\mathbf {D}^{\top} \mathbf {D C}\right)*{i j}}$$
    * $$\mathbf {D}*{i j} \leftarrow \mathbf {D}*{i j} \frac{\left(\mathbf {X} \mathbf C^{\top}\right)*{i j}}{\left(\mathbf {D C} \mathbf {C}^{\top}\right)*{i j}}$$
  * return $$\overline{\mathbf  X} =\mathbf {DC}$$

### 时间复杂度

Soft VQ时间复杂度：

* $$\mathbf {C} \leftarrow \operatorname{Softmax}\left(\frac{1}{T} \operatorname{cosine}(\mathbf {D},\mathbf {X})\right)$$，所以时间复杂度为$$O(nrd)$$
  * $$\operatorname{cosine}(\mathbf {D},\mathbf {X})$$需要计算$$\mathbf D^{\top} \mathbf X$$，即$$r\times d,d\times n\to r\times n$$，所以时间复杂度为$$O(nrd)$$
  * $$\operatorname{Softmax}$$：$$r\times n \to r\times n$$，所以时间复杂度为所以时间复杂度为$$O(nr)$$
  * 总时间复杂度为$$O(nrd)$$
* $$\mathbf {D} \leftarrow \mathbf {X} \mathbf {C}^{\top} \operatorname{diag}\left(\mathbf {C} \mathbf{1}\_{n}\right)^{-1}:$$
  * $$\operatorname{diag}\left(\mathbf {C} \mathbf{1}\_{n}\right)^{-1}:r\times n,n\times 1 \to r\times 1 \to r\times r$$，时间复杂度为$$O(nr)$$
  * $$\mathbf {X} \mathbf {C}^{\top}:d\times n, n\times r \to d\times r$$，时间复杂度为$$O(nrd)$$
  * $$\mathbf {C}^{\top} \operatorname{diag}\left(\mathbf {C} \mathbf{1}\_{n}\right)^{-1}: d\times r, r\times r \to r\times r$$，时间复杂度为$$O(dr^2)$$
* 所以时间复杂度为$$O(nrd+ dr^2)$$
* 循环$$K$$次，时间复杂度为$$O(K(nrd+ dr^2))$$
* $$\overline {\mathbf X} =\mathbf D\mathbf C: d\times r , r\times n \to d\times n$$，时间复杂度为$$O(nrd)$$
* 总时间复杂度为$$O((K+1)nrd + Kdr^2)$$

NMF with MU时间复杂度：

* $$\mathbf {C}*{i j} \leftarrow \mathbf {C}*{i j} \frac{\left(\mathbf {D}^{\top} \mathbf X\right)*{i j}}{\left(\mathbf {D}^{\top} \mathbf {D C}\right)*{i j}}$$
  * $$\mathbf {D}^{\top} \mathbf X: r\times d, d\times n\to r\times n$$，时间复杂度为$$O(nrd)$$
  * $$\mathbf {D}^{\top} \mathbf {D C}$$
    * 先计算$$\mathbf {DC}$$，再计算$$\mathbf {D}^{\top} \mathbf {D C}$$
      * $$\mathbf {DC}:d\times r, r\times n \to d\times n$$，时间复杂度为$$O(nrd)$$
      * $$\mathbf {D}^{\top} \mathbf {D C}: r\times d, d\times n \to r\times n$$，时间复杂度为$$O(nrd)$$
    * 先计算$$\mathbf {D}^{\top}\mathbf D$$，再计算$$\mathbf {D}^{\top} \mathbf {D C}$$
      * $$\mathbf {D}^{\top}\mathbf D: r\times d, d\times r \to r\times r$$，时间复杂度为$$O(dr^2)$$
      * 再计算$$\mathbf {D}^{\top} \mathbf {D C}:r\times r, r\times n\to r\times n$$，时间复杂度为$$O(nrd)$$
    * 一般$$r\<n$$，所以选择第二种算法，时间复杂度为$$O(nrd+dr^2)$$
  * 两次element wise乘法/除法：$$r\times n \to r\times n \to r\times n$$，时间复杂度为$$O(nr)$$
  * 循环$$K$$次，时间复杂度为$$O(K(nrd+dr^2))$$
  * $$\overline {\mathbf X}=\mathbf {DC}: d\times r , r\times n \to d\times n$$，时间复杂度为$$O(nrd)$$
  * 总时间复杂度为$$O((K+1)nrd + Kdr^2)$$

注意$$r, K$$一般不会很大（远小于$$n$$），所以该方法的时间复杂度关于序列长度大概能到线性。

### 训练以及loss

没有区别。

### 代码

* <https://github.com/lucidrains/hamburger-pytorch>
* <https://github.com/Gsunshine/Enjoy-Hamburger>

### 实验以及适用场景

目前只适用于Encoder结构，不适用于Decoder结构；实验主要是基于CV的，能达到和Attention相当的结果。

### 细节

在进行循环的时候不计算梯度，只有最后一次操作计算梯度。

### 简评

优点：

* 提供了一种新的理解Attention的视角；
* 方法实现比较简洁；

缺点：

* 没法直接应用到Decoder结构中，即无法训练lm；

总结

* 值得复现；


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