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数学符号

这里统一规定笔记中的数学记号。

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基本符号

  1. 向量用小写mathbf字体表示：x∈Rd\mathbf x \in \mathbb R^d(所有向量均为列向量，即x∈Rd×1\mathbf x \in \mathbb R^{d\times 1})；

  2. 矩阵用大写mathbf字体表示，X∈Rn×d\mathbf X\in \mathbb R^{n\times d}：

    X=[x1⊤⋮xn⊤]∈Rn×d;\begin{aligned} \mathbf X&= \left[ \begin{matrix} \mathbf x_1^{\top} \\ \vdots \\ \mathbf x_n^{\top} \end{matrix} \right]\in \mathbb R^{n\times d}; \end{aligned}

  3. xi\mathbf x_i表示矩阵X\mathbf X的第ii行的转置；

  4. 标量用常规字体表示α,β\alpha, \beta；

  5. 默认用nn表示序列长度，dd表示嵌入维度，bb表示batch size；

  6. Score Matrix：S=QK⊤\mathbf S=\mathbf Q \mathbf K^{\top}；

  7. Attention Matrix：A=f(S)\mathbf A = f(\mathbf S)；

    • 一般场景下f=Softmaxf=\mathrm{Softmax}，但是也可以有别的选择；

  8. 一些常用算子符号：

    • Softmax(X,d=−1):Rn×d→Rn×d\mathrm{Softmax}(\mathbf X,d=-1): \mathbb R^{n\times d}\to \mathbb R^{n\times d}：

      • dd为归一化维度，不指定时为最后一维，这里表示映射时没有考虑dd，做个不严格的简化定义；

    • Norm(X,d=−1):Rn×d→Rn×d\mathrm{Norm}(\mathbf X,d=-1): \mathbb R^{n\times d}\to \mathbb R^{n\times d}：

      • 各种归一化方式，具体类型使用文字说明，符号中不体现，dd为归一化维度，不指定时为最后一维;

    • MHA(X,Y):Rn×d×Rm×d→Rn×d\mathrm{MHA}(\mathbf X, \mathbf Y):\mathbb R^{n\times d}\times \mathbb R^{m\times d}\to \mathbb R^{n\times d}：

      • 一种MHA\mathrm {MHA}的接口，最具体来说X\mathbf X对应query，Y\mathbf Y对应key, value；

    • MHA(Q,K,V):Rn×d×Rm×d×Rm×d→Rn×d\mathrm{MHA}(\mathbf Q, \mathbf K,\mathbf V):\mathbb R^{n\times d}\times \mathbb R^{m\times d}\times \mathbb R^{m\times d}\to \mathbb R^{n\times d}：

      • 另一种MHA\mathrm{MHA}的接口，不常使用；

    • Tran(X,Y):Rn×d×Rm×d→Rn×d\mathrm{Tran}(\mathbf X, \mathbf Y):\mathbb R^{n\times d}\times \mathbb R^{m\times d}\to \mathbb R^{n\times d}

      • Transformer的接口；

    • FFN(X):Rn×d→Rn×d\mathrm {FFN}(\mathbf{X}): \mathbb R^{n\times d} \to \mathbb R^{n\times d}：

      • Transformer中FFN层；

  9. Sum(X,d=0):Rn×d→Rd\mathrm{Sum}(\mathbf X,d=0): \mathbb R^{n\times d} \to \mathbb R^{d}

目前先定义这些，后续再进行补充。

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